Проверим,
выполняется ли требование равномерной
ограниченности дисперсии. Напишем
закон распределения
:
|
|
|
|
|
|
|
Найдём
математическое ожидание
:
Найдём
дисперсию
:
Эта функция возрастает, следовательно, чтобы вычислить константу, ограничивающую дисперсию, можно вычислить предел:
Таким образом, дисперсии заданных случайных величин неограниченны, что и требовалось доказать.
Б) Из формулировки теоремы Чебышева следует, что требование равномерной ограниченности дисперсий является достаточным, но не необходимым условием, поэтому нельзя утверждать, что к данной последовательности эту теорему применить нельзя.
Последовательность независимых случайных величин Х 1 , Х 2 , …, Х n , … задана законом распределения
D(X n)=M(X n 2)- 2 ,
учитывай, что M(X n)=0, найдем (выкладки предоставляются выполнить читателю)
Временно предположим, что n изменяется непрерывно (чтобы подчеркнуть это допущение, обозначим n через х), и исследуем на экстремум функцию φ(х)=х 2 /2 х-1 .
Приравняв первую производную этой функции к нулю, найдем критические точки х 1 =0 и х 2 =ln 2.
Отбросим первую точку как не представляющую интереса (n не принимает значения, равного нулю); легко видеть, что в точек х 2 =2/ln 2 функция φ(х) имеет максимум. Учитывая, что 2/ln 2 ≈ 2.9 и что N – целое положительное число, вычислим дисперсию D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 для ближайших к числу 2.9 (слева и справа) целых чисел, т.е. для n=2 и n=3.
При n=2 дисперсия D(X 2)=2α 2 , при n=3 дисперсия D(Х 3)=9/4α 2 . Очевидно,
(9/4)α 2 > 2α 2 .
Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна (9/4)α 2 , т.е. дисперсии случайных величин Хn равномерно ограничены числом (9/4)α 2 .
Последовательность независимых случайных величин X 1 , X 2 , …, X n , … задана законом распределения
Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?
Замечание. Поскольку случайные величины Х, одинаково распределены и независимы, то читатель, знакомый с теоремой Хинчина, может ограничиться вычислением лишь математического ожидания и убедиться, что оно кончено.
Поскольку случайные величины Х n независимы, то они подавно и попарно независимы, т.е. первое требование теоремы Чебышева выполняется.
Легко найти, что M(X n)=0, т.е.первое требование конечности математических ожиданий выполняется.
Остается проверить выполнимость требования равномерной ограниченности дисперсий. По формуле
D(X n)=M(X n 2)- 2 ,
учитывай, что M(X n)=0, найдем
Таким образом, наибольшая возможная дисперсия равна 2, т.е. дисперсии случайных величин Х n равномерно ограничены числом 2.
Итак, все требования теоремы Чебышева выполняются, следовательно, к рассматриваемой последовательности эта теорема применима.
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).
Случайная
величина Х задана на всей оси Ох функцией
распределена F(x)=1/2+(arctg
x)/π. Найти
вероятность того, что в результате
испытания величина Х примет значение,
заключенное в интервале (0, 1). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a Р(0<
Х <1) = F(1)-F(0)
= x =1 -
x =0
= 1/4 Случайная
величина Х функцией распределения Найти
вероятность того, что в результате
испытания величина Х примет значение,
заключенное в интервале (-1, 1). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a Р(-1<
Х <1) = F(1)-F(-1)
= x =-1
– x =1
= 1/3. Функция
распределения непрерывной случайной
величины Х (времени безотказной работы
некоторого устройства) равна
F(х)=1-е -х/ T (х≥0).
Найти вероятность безотказной работы
устройства за время х≥Т. Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале x≥T,
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(0 P(x≥T)
= 1 - P(T Случайная
величина Х задана функцией распределения Найти
вероятность того, что в результате
испытания Х примет значение: а) меньшее
0.2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех;
г) не меньшее пяти. а)
Так как при х≤2 функция F(х)=0,
то F(0, 2)=0, т.е. P(х
< 0, 2)=0; б)
Р(Х < 3) = F(3) = x =3
= 1.5-1 = 0.5; в)
события Х≥3 и Х<3 противоположны,
поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая,
что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) =
1-0.5 = 0.5; г)
сумма вероятностей противоположных
событий равна единице, поэтому
Р(Х≥5)+Р(Х<5)=1. Отсюда, используя условие,
в силу которого при х>4 функция F(x)=1,
получим Р(Х≥5) = 1-Р(Х<5) = 1-F(5)
= 1-1 = 0. Случайная
величина Х задана функцией распределния Найти
вероятность того, что в результате
четырех независимых испытаний величина
Х ровно три раза примет значение,
принадлежащее интервалу (0.25, 0.75). Вероятность
того, что Х примет значение, заключенное
в интервале (a, b),
равна приращению функции распределения
на этом интервале: P(a P(0.25< X <0.75) =
F(0.75)-F(0.25) =
0.5 Следовательно,
,
или
Случайная
величина X задана на всей
оси Ox функцией распределения
.
Найти возможное значения
,
удовлетворяющее условию: с вероятностью
случайная
X в результате испытания
примет значение большее
Решение.
События
и
- противоложные, поэтому
.
Следовательно,
.
Так как
,
то
. По
определению функции распределения,
. Следовательно,
,
или
Дискретная
случайная величина X задана
законом распределения Итак,
искомая функция распределения имеет
вид Дискретная
случайная величина X
задана законом распределения Найти
функцию распределения
и
начертить ее график. Дана
функция распределения непрерывной
случайной величины X Найти
плотность распределения f(x). Плотность
распределения равна первой производной
от функции распределения: Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
. Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
.
Следовательно, искомая вероятность Непрерывная
случайная величина X
задана плотностью распределения
Воспользуемся
формулой
.
По условию
,и
Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х в интервале (-π/2,
π/2) равна f(x)=(2/π)*cos2x
; вне этого интервала f(x)=0.
Найти вероятность того, что в трех
независимых испытаниях Х примет ровно
два раза значение, заключенное в интервале
(0, π/4). Воспользуемся
формулой Р(a Р(0 Ответ:
π+24π. fx=0,
при x≤0cosx,
при 0 Используем
формулу Если
х ≤0, то f(x)=0,
следовательно, F(x)=-∞00dx=0. Если
0 F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx. Если
x≥ π2 , то F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1. Итак,
искомая функция распределения Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Задана
плотность распределения непрерывной
случайной величины Х: Fx=0,
при x≤0sinx,
при 0 Найти
функцию распределения F(x). Используем
формулу Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана на всей оси Ох равеством
.
Найти постоянный параметр С. Таким образом, Плотность
распределения непрерывной случайной
величины
задана
на всей оси
равенством
Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
.
Потребуем, чтобы это условие выполнялось
для заданной функции: Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Таким образом, Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной
случайной величины X в
интервале
равна
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти постоянный
параметр С. Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Плотность
распределения непрерывной случайной
величины Х задана в интервале
равенством
;
вне этого интервала f(х) = 0. Найти
постоянный параметр С. Решение.
Плотность распределения
должна удовлетворять условию
,
но так как f(x)
вне интервала
равна
0 достаточно, чтобы она удовлетворяла:
Найдем
сначала неопределенный интеграл: Затем вычислим несобственный интеграл: Подставив
(**) в (*), окончательно получим
. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = 2x
в интервале (0,1); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Р Подставив
a = 0, b = 1,
ƒ(x) = 2x,
получим Ответ:
2/3. Случайная
величина X задана плотностью
распределения ƒ(x) = (1/2)x
в интервале (0;2); вне этого интервала
ƒ(x) = 0. Найти математическое
ожидание величины X. Р Подставив
a = 0, b = 2,
ƒ(x) = (1/2)x,
получим М
(Х) =
Ответ:
4/3. Случайная
величина X в интервале (–с, с) задана плотностью распределения ƒ Р Подставив
a = –с, b = c,
ƒ(x) = , получим Учитывая,
что подынтегральная функция нечетная
и пределы интегрирования симметричны
относительно начала координат, заключаем,
что интеграл равен нулю. Следовательно,
М(Х) = 0. Этот
результат можно получить сразу, если
принять во внимание, что кривая
распределения симметрична относительно
прямой х = 0. Случайная
величина Х в интервале (2, 4) задана
плотностью распределения f(x)= Случайная
величина Х в интервале (3, 5) задана
плотностью распределения f(x)= Решение.
Представим плотность распределения в
виде
Случайная
величина Х в интервале (-1, 1) задана
плотностью распределения
По своей физической природе случайные величины могут быть детерминированными и случайными. Дискретной называют случайную величину, отдельные значения которой можно перенумеровать (число изделий, количество деталей – бракованных и годных и т.п.). Непрерывной называют случайную величину, возможные значения которой заполняют некоторый промежуток (отклонение размера изготовленной детали от номинала, погрешность измерения, величина отклонения формы детали, высота микронеровностей и т.п.). Случайная величина не может характеризоваться каким-то одним значением. Для неё необходимо указать множество возможных значений и вероятностные характеристики, заданные на этом множестве. В том случае, если случайное событие выражается в виде числа, можно говорить о случайной величине. Случайной
называют величину, которая в результате испытания примет одно возможное значение, наперёд неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Выпадение некоторого значения случайной величины Х
это случайное событие: Х = х i .
Среди случайных величин выделяют дискретные и непрерывные случайные величины. Дискретной случайной величиной
называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным. Примеры дискретной случайной величины: запись показаний спидометра или измеренной температуры в конкретные моменты времени.
Непрерывной случайной величиной
называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Пример непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.
Любая случайная величина имеет свой закон распределения вероятностей и свою функцию распределения вероятностей. Прежде, чем дать определение функции распределения, рассмотрим переменные, которые её определяют. Пусть задано некоторое х
– действительное число и получена случайная величина X
, при этом x > X
. Требуется определить вероятность того, что случайная величина Х
будет меньше этого фиксированного значения х
. Функцией распределения случайной величины
Х
называется функция F(х)
, определяющая вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение меньшее значения х, то есть: Случайная величина характеризуется в теории вероятностей законом ее распределения
. Этот закон устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими этим значениям вероятностям их появления. Существует две формы описания закона распределения случайной величины - дифференциальная и интегральная
. Причем, в метрологии в основном используется дифференциальная форма - закон распределения плотности вероятностей
случайной величины. Дифференциальный закон распределения
характеризуетсяплотностью распределения вероятностей f(x)
случайной величиных
. Вероятность Р
попадания случайной величины в интервал от х 1
до х 2
при этом дается формулой: Графически эта вероятность представляет собой отношение площади под кривой f(x) в интервале от х 1 до х 2 к общей площади, ограниченной всей кривой распределения. Как правило, площадь под всей кривой распределения вероятностей нормируют на единицу.
В данном случае представлено распределение непрерывной
случайной величины. Кроме них существуют и дискретные
случайные величины, принимающие ряд определенных значений, которые можно пронумеровать.
Интегральный закон распределения случайной величины
представляет собой функцию F(x),
определяемую формулой Вероятность, что случайная величина будет меньше х 1 дается значением функции F(х) при х = х 1:
Хотя закон распределения случайных величин является их полной вероятностной характеристикой, нахождение этого закона является довольно трудной задачей и требует проведения многочисленных измерений. Поэтому на практике для описания свойств случайной величины используют различные числовые характеристики распределений
. К ним относятся моменты
слу-чайных величин: начальные и центральные
, которые представляют собой некоторые средние значения
. При этом если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, то моменты называются начальными
, а если от центра распределения – то центральными
. Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести для них ряд распределения нельзя. Вместо вероятности того, что случайная величина Х примет значение, равное х, т.е. p(X = x), рассматривают вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х < х). Введем новую характеристику случайных величин - функцию распределения и рассмотрим ее свойства. Функция распределения - самая универсальная характеристика случайной величины. Она может быть определена как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин: F(x) = p(X < x). Свойства функции распределения. Функция распределения является неубывающей функцией своего аргумента, т.е. если: На минус бесконечности функция распределения равна нулю: На плюс бесконечности функция распределения равна единице: Вероятность попадания случайной величины на заданный интервал определяется формулой: Функция f(x), равная производной от функции распределения, называется плотностью вероятности случайной величины Х или плотностью распределения: Выразим вероятность попадания на участок б до в через f(x). Она равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е. интегралу: Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности: Свойства плотности вероятности. Плотность вероятности является неотрицательной функцией (так как функция распределения является неубывающей функцией): Плотность вероятно сти является непрерывной функцией. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1: Плотность вероятности имеет размерность случайной величины. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их нахождения путем замены: Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины: Пример. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением: Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0,25-0,5), математическое ожидание и дисперсию. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х = 1 ax2 = 1, следовательно, a = 1. Плотность вероятности находится, как производная от функции распределения: Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности вероятности. Находим математическое ожидание: Находим дисперсию: Равномерное распределение Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором интервале и равновероятны. Плотность вероятности такой случайной величины будет иметь вид: где с - некоторая постоянная. График плотности вероятности изобразится следующим образом: Выразим параметр с через б и в. Для этого используем тот факт, что интеграл от плотности вероятности по всей области должен быть равен 1: Плотность распределения равномерно распределенной случайной величины Найдем функцию распределения: Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Построим график функции распределения: Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению. Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид: Нормальное (Гауссово) распределение Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами a, у > 0, если она имеет плотность вероятности: Кривая распределение случайной величины, имеет вид: Контрольная работа 2 Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 1 ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 2 В урне 4 шара, на которых указаны очки 2; 4; 5; 5. Наудачу вынимается шар. Найти закон распределения случайной величины Х - числа очков на нем. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 3 Охотник стреляет по дичи до попадания, но может сделать не более трех выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Составить закон распределения случайной величины Х - числа выстрелов сделанных стрелком. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 4 Вероятность превысить заданную точность при измерении равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины Х - число ошибок при 10 измерениях. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 5 Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,45. Произведено 20 выстрелов. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попаданий. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 6 Изделия некоторого завода содержит 5% брака. Составить закон распределения случайной величины Х - числа бракованных изделий среди пяти взятых на удачу. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 7 Нужные сборщику детали находятся в трех из пяти ящиков. Сборщик вскрывает ящики до тех пор пока не найдет нужные детали. Составить закон распределения случайной величины Х - числа вскрытых ящиков. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 8 В урне 3 черных и 2 белых шара. Производится последовательное без возвращения извлечение шаров до появления черного. Составить закон распределения случайной величины Х - числа извлеченных шаров. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 9 Студент знает 15 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Составить закон распределения случайной величины Х - числа известных студенту вопросов в билете. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Вариант 10 Имеется 3 лампочки, каждая из которых с вероятностью 0,4 имеет дефект. При включении дефектная лампочка перегорает и заменяется другой. Составить закон распределения случайной величины Х - числа испробованных ламп. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины. Задание 2. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию, а также вероятность попадания случайной величины в интервал (б, в). Построить графики функций F(X) и f(X). Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вопросы к экзамену Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики. Размещение. Примеры. Элементы комбинаторики. Перестановка. Примеры. Элементы комбинаторики. Сочетания. Примеры. Теорема о сумме вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Операции над событиями. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение испытаний. Формула Бернулли. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Пример. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Биномиальное распределение случайной величины. Распределение Пуассона. Распределение по закону геометрической прогрессии. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Плотность вероятности и ее свойства. Математическое ожидание непрерывной случайной величины. Дисперсия непрерывной случайной величины. Равномерное распределение непрерывной случайной величины. Нормальный закон распределения. В отличие от дискретной случайной величины непрерывные случайные величины невозможно задать в виде таблицы ее закона распределения поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательностей все ее значения. Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование функции распределения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функцией распределения называют функцию, определяющую вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х, т.е. Иногда вместо термина «Функция распределения» используют термин «Интегральная функция». Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежит отрезку : 0F(x)1 Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(aX Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения: Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0;2): P(0 Решение: Так как на интервале (0;2) по условию, F(x)=x/4+1/4, то F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0/4+1/4)=1/2. Итак, P(0 Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Следствие 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а;b), то: 1) F(x)=0 при xa; 2) F(x)=1 при xb. График функции распределения расположен в полосе, ограниченной прямыми у=0, у=1 (первое свойство). При возрастании х в интервале (а;b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «подымается вверх». При xa ординаты графика равны нулю; при xb ординаты графика равны единице: Пример 10. Дискретная случайная величина Х задана таблицей распределения: Найти функцию распределения и построить ее график. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x): f(x)=F"(x) Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а;b) равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b: Свойства плотности распределения вероятностей:
1. Плотность вероятностей является неотрицательной функцией: f(x)0. Пример 11. Задана плотность распределения вероятностей случайной величины Х Решение: Искомая вероятность: Распространим определение числовых характеристик дискретных величин на величины непрерывные. Пусть непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения f(x). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл: M(x)=xf(x)dx (9) Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то: M(x)=xf(x)dx (10) Модой M 0 (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой M e (X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством: P{X e (X)}=P{X>M e (X)} ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения. Если возможные значения Х принадлежат отрезку , то: D(x)= 2 f(x)dx (11) Если возможные значения принадлежат всей оси х, то. Функция распределения непрерывной случайной величины
Функцией распределения вероятностей F(x) случайной величины Х в точке х называется вероятность того, что в результате опыта случайная величина примет значение, меньше, чем х, т.е. F(x)=P{X < х}. Рассмотрим свойства функции F(x). 1. F(-?)=lim(x>-?)F(x)=0. Действительно, по определению, F(-?)=P{X < -?}. Событие (X < -?) является невозможным событием: F(-?)=P{X < - ?}=p{V}=0. 2. F(?)=lim(x>?)F(x)=1, так как по определению, F(?)=P{X < ?}. Событие Х < ? является достоверным событием. Следовательно, F(?)=P{X < ?}=p{U}=1. 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [Б В] равна приращению функции распределения вероятностей на этом интервале. P{Б?X<В}=F(В)-F(Б). 4. F(x2)? F(x1), если x2, > x1, т.е. функция распределения вероятностей является неубывающей функцией. 5. Функция распределения вероятностей непрерывна слева. FШ(xo-0)=limFШ(x)=FШ(xo) при х> xo Различия между функциями распределения вероятностей дискретной и непрерывной случайных величин хорошо иллюстрировать графиками. Пусть, например, дискретная случайная величина имеет n возможных значений, вероятности которых равны P{X=xk}=pk, k=1,2,..n. Если x ? x1, то F(Х)=0, так как левее х нет возможных значений случайной величины. Если x1< x ? x2 , то левее х находится всего одно возможное значение, а именно, значение х1. Значит, F(x)=P{X=x1}=p1.При x2< x ? x3 слева от х находится уже два возможных значения, поэтому F(x)=P{X=x1}+P{X=x2}=p1+p2. Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что если хk< x? xk+1, то F(x)=1, так как функция будет равна сумме вероятностей всех возможных значений, которая по условию нормировки равна единице. Таким образом, график функции распределения дискретной случайной величины является ступенчатым. Возможные значения непрерывной величины располагаются плотно на интервале задания этой величины, что обеспечивает плавное возрастания функции распределения F(x), т.е. ее непрерывность. Рассмотрим вероятность попадания случайной величины в интервал Дx>0: P{x?X< x+Дx}=F(x+ Дx)-F(x). Перейдем к пределу при Дx>0: lim(Дx>0)P{x? X < x+Дx}=lim(Дx>0)F(x+Дx)-F(x). Предел равен вероятности того, что случайная величина примет значение, равное х. Если функция F(x) непрерывна в точке х, то lim(Дx>0)F(x+Дx)=F(x), т.е. P{X=x}=0. Если F(x) имеет разрыв в точке х, то вероятность P{X=x} будет равна скачку функции в этой точке. Таким образом, вероятность появления любого возможного значения для непрерывной величины равна нулю. Выражение P{X=x}=0 следует понимать как предел вероятности попадания случайной величины в бесконечно малую окрестность точки х при P{Б< X? В},P{Б? X< В},P{Б< X< В},P{Б? X? В} равны, если Х - непрерывная случайная величина. Для дискретных величин эти вероятности неодинаковы в том случае, когда границы интервала Б и(или) В совпадают с возможными значениями случайной величин. Для дискретной случайной величины необходимо строго учитывать тип неравенства в формуле P{Б?X<В}=F(В)-F(Б). Свойства функции распределения
Любая функция распределения обладает следующими свойствами: Она не убывает: если, то; Существуют пределы и; Она в любой точке непрерывна слева: Доказательство свойства (1). Для любых чисел событие влечёт событие, т.е. . Но вероятность - монотонная функция событий, поэтому Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры. Доказательство свойства (2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (2), (3) вытекает из монотонности и ограниченности функции. Остается лишь доказать равенства Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности, так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов. Докажем, что при. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий: Пересечение всех этих событий состоит из тех и только тех, для которых меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий не содержит элементарных исходов, т.е. . По свойству непрерывности меры, при. Точно так же докажем остальные свойства. Покажем, что при, т.е. . Обозначим через событие. События вложены: а пересечение этих событий снова пусто - оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, Доказательство свойства (3). Достаточно доказать, что при. Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности: вероятность распределение регрессионный анализ Регрессионный анализ
Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель есть функция независимой переменной и параметров с добавленной случайной переменной. Параметры модели настраиваются таким образом, что модель наилучшим образом приближает данные. Критерием качества приближения (целевой функцией) обычно является среднеквадратичная ошибка: сумма квадратов разности значений модели и зависимой переменной для всех значений независимой переменной в качестве аргумента. Регрессионный анализ - раздел математической статистики и машинного обучения. Предполагается, что зависимая переменная есть сумма значений некоторой модели и случайной величины. Относительно характера распределения этой величины делаются предположения, называемые гипотезой порождения данных. Для подтверждения или опровержения этой гипотезы выполняются статистические тесты, называемые анализом остатков. При этом предполагается, что независимая переменная не содержит ошибок. Регрессионный анализ используется для прогноза, анализа временных рядов, тестирования гипотез и выявления скрытых взаимосвязей в данных. Регрессия - зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной или нескольких других случайных величин (свободных переменных), то есть. Регрессионным анализом называется поиск такой функции f, которая описывает эту зависимость. Регрессия может быть представлена в виде суммы неслучайной и случайной составляющих. где f - функция регрессионной зависимости, а v - аддитивная случайная величина с нулевым матожиданием. Предположение о характере распределения этой величины называется гипотезой порождения данных. Обычно предполагается, что величина v имеет гауссово распределение с нулевым средним и дисперсией. Задача нахождения регрессионной модели нескольких свободных переменных ставится следующим образом. Задана выборка - множество значений свободных переменных и множество соответствующих им значений зависимой переменной. Эти множества обозначаются как D, множество исходных данных. Задана регрессионная модель - параметрическое семейство функций f(w,x) зависящая от параметров и свободных переменных x. Требуется найти наиболее вероятные параметры: Функция вероятности p зависит от гипотезы порождения данных и задается Байесовским выводом или методом наибольшего правдоподобия. Линейная регрессия предполагает, что функция f зависит от параметров w линейно. При этом линейная зависимость от свободной переменной x необязательна, В случае, когда функция линейная регрессия имеет вид здесь - компоненты вектора x. Значения параметров в случае линейной регрессии находят с помощью метода наименьших квадратов. Использование этого метода обосновано предположением о гауссовском распределении случайной переменной. Разности между фактическими значениями зависимой переменной и восстановленными называются регрессионными остатками (residuals). В литературе используются также синонимы: невязки и ошибки. Одной из важных оценок критерия качества полученной зависимости является сумма квадратов остатков: Здесь SSE - Sum of Squared Errors. Дисперсия остатков вычисляется по формуле Здесь MSE - Mean Square Error, среднеквадратичная ошибка. Нелинейные регрессионные модели - модели вида, которые не могут быть представлены в виде скалярного произведения Где - параметры регрессионной модели, x - свободная переменная из пространства Rn, y - зависимая переменная, v - случайная величина и - функция из некоторого заданного множества. Задача
По двум независимым выборкам объемом n1=30 и n2=15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние =25 и =27. Дисперсии генеральных совокупностей известны =1,3 и =1,6. На уровне значимости =0,1 проверить гипотезу Н0: м1= м2 при конкурирующей гипотезе Н1: м1м2. Найдем отношение большой исправленной дисперсии к меньшей Fнабл=1.6/1.3=1.23. По условию конкурирующая гипотеза имеет вид м1м2 поэтому критическая область - двусторонняя. В соответствии с правилом 2 при отыскании критической точки следует брать уровень значимости вдвое меньше заданного. По таблице приложения 7, по уровню значимости a/2=0.1/2=0.05 и числом степеней свободы k1=15-1=14 и k2=30-1=29, находим критическую точку Fкр(0,05;14;29)=2,38. Так как Fнабл>Fкр - нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий отвергаем. Список используемой литературы
1. Ахтямов А.М. «Теория вероятностей». - М.: Физматлит, 2009. 2. Булдык Г.М. «Теория вероятностей и математическая статистика», Мн., Высш. шк., 1989. 3. Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей», УРСС. М.: 2001. 4. Мацкевич И.П., Свирид Г.П. «Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика», Мн.: Выш. шк., 1993. 5. Севастьянов Б.А. «Курс теории вероятностей и математической статистики», - М.: Наука, 1982.
Отсюда
,
или.
.
Отсюда
,
или.
При
x=0 производная
не
существует.
в
интервале
;
вне этого интервала
.
Найти вероятность того, что X
примет значение, принадлежащее интервалу
.
.
Следовательно, искомая вероятность
.
. (*)
.
.
. (*)
.
.
. (*)
(**)
Потребуем,
чтобы это условие выполнялось для
заданной функции:
.
. (*)
(**)
ешение.
Используем формулу
ешение.
Используем формулу
=
4/3
(x)
= ; вне этого интервала ƒ(x)
= 0. Найти математическое ожидание
величины X.
ешение.
Используем формулу
.
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=3, поэтому
и
.
;
вне этого интервала f(x)=0. Найти моду,
математическое ожидание и медиану
величины Х.
.
Отсюда видно, что при х=3 плотность
распределения достигает максимума;
следовательно,
.
Кривая распределения симметрична
относительно прямой х=4, поэтому
и
.
;
вне этого интервала f(x)=0. Найти: а) моду;
б) медиану Х.
2. F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x 2)F(x 1), если x 2 >x 1
Справедливы следующие предельные соотношения: 
Рисунок-1X
1
4
8
P
0.3
0.1
0.6
Решение: Функция распределения аналитически может быть записана так:
Рисунок-2
(8)
2. Определенный интеграл от -∞ до +∞ от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен 1: f(x)dx=1.
3. Определенный интеграл от -∞ до x от плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины равен функции распределения этой величины: f(x)dx=F(x)
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,5;1).
или
D(x)=x 2 f(x)dx- 2 (11*)
