Что такое x и y в координатах. Координаты

Пойдем прямым логическим путем, не отвлекаясь на многие современные международные и отечественные научные термины. Систему координат можно изобразить как некую систему отсчета ориентированную на плоскости двумя направлениями, а в пространстве тремя. Если вспомнить математическую систему, то она представлена двумя взаимно перпендикулярными направлениями, имеющими названия осей абсцисс (X) и ординат (Y). Ориентированы они в горизонтальном и вертикальном направлениях соответственно. Пересечение этих линий является началом координат с нулевыми значениями в абсолютной величине. А местоположение точек на плоскости определяется при помощи двух координат X и Y. В геодезии ориентирование осей на плоскости отличается от математики. Плоскостная прямоугольная система определена осью X в вертикальном положении (в направлении на север) и осью Y в горизонтальном (в направлении на восток).

Классификация систем координат

К полярным системам можно отнести географическую, астрономическую и геодезическую, геоцентрические и топоцентрические системы.

Географическая система координат

Замкнутая поверхность внешнего контура Земли представлена сфероидной геометрической формой. За основные направления ориентирования на ней можно принять дуги на поверхности шара. На упрощенно представленном уменьшенном макете нашей планеты в виде глобуса (фигура земли) можно зрительно увидеть принятые линии отсчета в виде Гринвичского меридиана и экваториальной линии.

В этом примере выражена общепринятая во всем мире именно пространственная система географических координат. В ней введены понятия долготы и широты. Имея градусные единицы измерения, они представляют угловую величину. Многим знакомы их определения. Следует напомнить, что географическая долгота конкретной точки представляет угол между двумя плоскостями, проходящими через нулевой (Гринвичский) меридиан и меридиан в определяемой точке расположения. Под географической широтой точки принят угол, образующийся между отвесной линией (или нормалью) к ней и плоскостью экватора.

Понятия астрономической и геодезической системы координат и их различия

Географическая система условно объединяет астрономическую и геодезическую системы. Для того чтобы было понятно какие все-таки существуют различия обратите внимание на определения геодезических и астрономических координат (долготы, широты, высоты). В астрономической системе широта рассматривается как угол между экваториальной плоскостью и отвесной линией в точке определения. А сама форма Земли в ней рассматривается как условный геоид, математически приближенно приравненный к сфере. В геодезической системе широта образовывается нормалью к поверхности земного эллипсоида в конкретной точке и плоскостью экватора. Третьи координаты в этих системах дают окончательное представление в их различиях. Астрономическая (ортометрическая) высота представляет собой превышение по отвесной линии между фактической и точкой на поверхности уровенного геоида. Геодезической высотой считается расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки вычисления.

Система плоских прямоугольных систем координат Гаусса-Крюгера

Каждая система координат имеет свое теоретическое научное и практическое экономическое применение, как в глобальном, так и региональном масштабах. В некоторых конкретных случаях возможно использование референцных, местных и условных систем координат, но которые через математические расчеты и вычисления все равно могут быть объединены между собой.

Геодезическая прямоугольная плоская система координат является проекцией отдельных шестиградусных зон эллипсоида. Вписав эту фигуру внутрь горизонтально расположенного цилиндра, каждая зона отдельно проецируется на внутреннюю цилиндрическую поверхность. Зоны такого сфероида ограничиваются меридианами с шагом в шесть градусов. При развертывании на плоскости получается проекция, которая имеет название в честь немецких ученых её разработавших Гаусса-Крюгера. В таком способе проецирования углы между любыми направлениями сохраняют свои величины. Поэтому иногда ее называют еще равноугольной. Ось абсцисс в зоне проходит по центру, через условный осевой меридиан (ось X), а ось ординат по линии экватора (ось Y). Длины линий вдоль осевого меридиана передается без искажений, а вдоль экваториальной линии с искажениями к краям зоны.

Полярная система координат

Кроме выше описанной прямоугольной системы координат следует отметить наличие и использование в решении геодезических задач плоской полярной системы координат. За исходное отсчетное направление в ней применяется ось северного (полярного) направления, откуда и название. Для определения местоположения точек на плоскости используют полярный (дирекционный) угол и радиус-вектор (горизонтальное проложение) до точки. Напомним, что дирекционным углом считается угол, отсчитываемый от исходного (северного) направления до определяемого. Радиус-вектор выражается в определении горизонтального проложения. К пространственной полярной системе добавляется геодезические измерения вертикального угла и наклонного расстояния для определения 3D-положения точек. Этот способ практически ежедневно применяется в тригонометрическом нивелировании , топографической съемке и для развития геодезических сетей .

Геоцентрические и топоцентрические системы координат

По такому же полярному методу частично устроены и спутниковые геоцентрическая и топоцентрическая системы координат, с той лишь разницей, что основные оси трехмерного пространства (X, Y, Z) имеют отличные начала и направления. В геоцентрической системе началом координат является центр масс Земли. Ось X имеет направление по Гринвичскому меридиану к экватору. Ось Y располагают в прямоугольном положении на восток от X. Ось Z изначально имеет полярное направление по малой оси эллипсоида. Координатами в ней считаются:

• в экваториальной плоскости геоцентрическое прямое восхождение спутника
• в меридианной плоскости геоцентрическое склонение спутника
• геоцентрический радиус-вектор расстояние от центра тяжести Земли до спутника.

При наблюдении за движением спутников из точки стояния на земной поверхности используют топоцентрическую систему, оси координат которой расположены параллельно осям геоцентрической системы, а ее началом считается пункт наблюдения. Координаты в такой системе:

• топоцентрическое прямое восхождение спутника
• топоцентрическое склонение спутника
• топоцентрический радиус-вектор спутника
• геоцентрический радиус вектор в точке наблюдений.

В современные спутниковые глобальные системы отсчета WGS-84 , ПЗ-90 входят не только координаты, но и другие параметры и характеристики важные для геодезических измерений, наблюдений и навигации. К ним относятся геодезические и другие константы:

• исходные геодезические даты
• данные земного эллипсоида
• модель геоида
• модель гравитационного поля
• значения величины гравитационной постоянной
• значение скорости света и другие.

1.10. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА КАРТАХ

Прямоугольные координаты (плоские) - линейные величины: абсцисса Х и ордината Y , определяющие положение точек на плоскости (на карте) относительно двух взаимно перпендикулярных осей Х и Y (рис. 14). Абсцисса Х и ордината Y точки А- расстояния от начала координат до оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на соответствующие оси, с указанием знака.

Рис. 14. Прямоугольные координаты

В топографии и геодезии, а также на топографических картах ориентирование производится по северу со счетом углов по ходу часовой стрелки, поэтому для сохранения знаков тригонометрических функций положение осей координат, принятое в математике, повернуто на 90°.

Прямоугольные координаты на топографических картах СССР применяются по координатным зонам. Координатные зоны - части земной поверхности, ограниченные меридианами с долготой, кратной 6°. Первая зона ограничена меридианами 0° и 6°, вторая-б" и 12°, третья-12° и 18° и т.д.

Счет зон идет от Гринвичского меридиана с запада на восток. Территория СССР располагается в 29 зонах: от 4-й до 32-й включительно. Протяженность каждой зоны с севера на юг порядка 20000 км. Ширина зоны на экваторе около 670 км, на широте 40°- 510 км, т широте 50°-430 км, на широте 60°-340 км.

Все топографические карты в пределах данной зоны имеют общую систему прямоугольных координат. Началом координат в каждой зоне служит точка пересечения среднего (осевого) меридиана зоны с экватором (рис. 15), средний меридиан зоны соответствует

Рис. 15. Система прямоугольных координат на топографических картах: а-одной зоны; б-части зоны

оси абсцисс, а экватор - оси ординат. При таком расположении координатных осей абсциссы точек, расположенных южнее экватора, и ординаты точек, расположенных западнее среднего меридиана, будут иметь отрицательные значения. Для удобства пользования координатами на топографических картах принят условный счет ординат, исключающий отрицательные значения ординат. Это достигнуто тем, что отсчет ординат идет не от нуля, а от величины 500 км, Т. е. начало координат в каждой зоне как бы перенесено на 500 км влево вдоль оси Y . Кроме того, для однозначного определения положение точки по прямоугольным координатам на земном шаре к значению координаты Y слева приписывается номер зоны (однозначное или двузначное число).

Зависимость между условными координатами и их действительными значениями выражается формулами:

X " = Х-, У = У- 500 000,

где X " и Y "- действительные значения ординат; X , Y - условные значения ординат. Например, если точка имеет координаты

Х = 5 650 450: Y = 3 620 840,

то это значит, что точка расположена в третьей зоне на удалении 120 км 840 м от среднего меридиана зоны (620840-500000) и к северу от экватора на удалении 5650 км 450 м.

Полные координаты - прямоугольные координаты, записанные (названные) полностью, без каких-либо сокращений. В примере, приведенном выше, даны полные координаты объекта:

Х = 5 650 450; Y = 3620 840.

Сокращенные координаты применяются для ускорения целеука-зания по топографической карте, в этом случае указываются только десятки и единицы километров и метры. Например, сокращенные координаты данного объекта будут:

Х = 50 450; Y = 20 840.

Сокращенные координаты нельзя применять при целеуказании на стыке координатных зон и если район действий охватывает пространство протяженностью более 100 км по широте или долготе.

Координатная (километровая) сетка -сетка квадратов на топографических картах, образованная горизонтальными и вертикальными линиями, проведенными параллельно осям прямоугольных координат через определенные интервалы (табл. 5). Эти линии называются километровыми. Координатная сетка предназначается для определения координат объектов и нанесения на карту объек тов по их координатам, для целеуказания, ориентирования карты, измерения дирекционных углов и для приближенного определения расстояний и площадей.

Таблица 5 Координатные сетки на картах

Масштабы карт	Размеры сторон квадратов		Площади квадратов, кв. km
	на карте, см	на местности, км
1:25 000		1
1:50 000
1:100 000
1:200 000

На карте масштаба 1:500 000 координатная сетка полностью не показывается; наносятся только выходы километровых линий по сторонам рамки (через 2 см). При необходимости по этим выходам координатная сетка может быть прочерчена на карте.

Километровые линии на картах подписываются у их зарамочных выходов и у нескольких пересечений внутри листа (рис. 16). Крайние на листе карты километровые линии подписываются полностью, остальные-сокращенно, двумя цифрами (т. е. указываются только десятки и единицы километров). Подписи у горизонтальных линий соответствуют расстояниям от оси ординат (экватора) в километрах. Например, подпись 6082 в правом верхнем углу показывает, что данная линия отстоит от экватора на удалении 6082 км.

Подписи вертикальных линий обозначают номер зоны (одна или две первых цифры) и расстояние в километрах (всегда три цифры) от начала координат, условно перенесенного к западу от среднего меридиана на 500 км. Например, подпись 4308 в левом нижнем углу означает: 4 - номер зоны, 308 - расстояние от условного начала координат в километрах.

Дополнительная координатная (километровая) сетка может быть нанесена на топографических картах масштаба 1:25 000, 1:50000, 1:100000 и 1:200000 по выходам километровых линий в смежной западной или восточной зоне. Выходы километровых линий в виде черточек с соответствующими подписями даются на картах, расположенных на протяжении 2° к востоку и западу от граничных меридианов зоны.

рис. 16. Координатная (километровая) сетка на листе карты

Дополнительная координатная сетка предназначается для преобразования координат одной зоны в систему координат другой, соседней, зоны.

На рис. 17 черточки на внешней стороне западной рамки с подписями 81,6082 и на северной стороне рамки с подписями 3693, 94, 95 и т.д. обозначают выходы километровых линий в системе координат смежной (третьей) зоны. При необходимости дополнительная координатная сетка прочерчивается на листе карты путем соединения одноименных черточек на противоположных сторонах рамки. Вновь построенная сетка является продолжением километровой сетки листа карты смежной зоны и должна полностью совпадать (смыкаться) с ней при склейке карты.

Координатная сетка западной (3-й) зоны

Рис. 17. Дополнительная координатная сетка

Начало координат

Начало координат (начало отсчёта) в евклидовом пространстве - особая точка , обычно обозначаемая буквой О , которая используется как точка отсчёта для всех остальных точек. В евклидовой геометрии начало координат может быть выбрано произвольно в любой удобной точке.

Вектор, проведённый из начала координат, в другую точку называется радиус-вектором .

Декартова система координат

Начало координат делит каждую из осей на два луча - положительную полуось и отрицательную полуось.

В частности, начало координат можно ввести на числовой оси . В этом смысле можно говорить о начале координат для разных экстенсивных величин (времени , температуры и пр.)

Полярные системы координат

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Начало координат" в других словарях:

начало координат - Нулевая точка (точка пересечения осей) в плоской системе координат, применяемой в графических системах, работающих с двухмерными изображениями. Координата точки задается расстоянием от начала (центра) координат по горизонтальной оси X (абсцисса)… …

начало координат - koordinačių pradžia statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. origin of coordinates vok. Koordinatenanfangspunkt, m; Koordinatenursprung, m rus. начало координат, n pranc. origine de cordonnées, f … Automatikos terminų žodynas

начало координат (графопостроителя) - — [Е.С.Алексеев, А.А.Мячев. Англо русский толковый словарь по системотехнике ЭВМ. Москва 1993] Тематики информационные технологии в целом EN plot origin … Справочник технического переводчика

- (origin) Точка на графике, обозначающая нуль при любых измерениях. Диаграмма может иметь более одной точки отсчета. Двухфакторная квадратная диаграмма (box diagram), например, строится таким образом, что общие имеющиеся объемы каких либо факторов … Экономический словарь

направленное реле сопротивления с характеристикой, не проходящей через начало координат - — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN offset mho distance relay … Справочник технического переводчика

характеристика направленного реле сопротивления в виде окружности, проходящей через начало координат - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN mho characteristic … Справочник технического переводчика

начало отсчета - Позиция на экране дисплея, от которой начинаются все системы координат. Обычно находится в левом верхнем углу экрана. Тематики информационные технологии в целом EN origin … Справочник технического переводчика

Прямоугольная система координат прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… … Википедия

Точка имеет три декартовых и три сферических координаты Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с д … Википедия

Комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В… … Википедия

Книги

• Веснадцать , Данилова Стефания , Поэт Стефания Данилова родилась 16 августа 1994 года в Петербурге, и безоговорочно влюблена в этот город. Амбидекстр, вундеркинд, полиглот, создавшая в три года первоевзрослое стихотворение.… Категория: Современная отечественная поэзия Серия: Звезда рунета Издатель: АСТ ,
• Промысл , Рогатко Сергей Александрович , Новый роман "Промысл" писателя Сергея Рогатко, исповедующего реалистическое начало в русской литературе и подтвердившего это в своем известном романе" Мирянин", написан в жанре притчи,"… Категория:

Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Данную тему мы предлагаем Вам рассмотреть в двух вариантах.

1) По учебнику И.И.Привалов "Аналитическая геометрия" (учебник для высших технических учебных заведений 1966 г.)

И.И.Привалов "Аналитическая геометрия"

§ 1. Задача преобразования координат.

Положение точки на плоскости определяется двумя координатами относительно некоторой системы координат. Координаты точки изменятся, если мы выберем другую систему координат.

Задача преобразования координат состоит в том, чтобы, зная координаты точки в одной системе координат, найти ее координаты в другой системе .

Эта задача будет разрешена, если мы установим формулы, связывающие координаты произвольной точки по двум системам, причем в коэффициенты этих формул войдут постоянные величины, определяющие взаимное положение систем.

Пусть даны две декартовы системы координат хОу и XO 1 Y (рис. 68).

Положение новой системы XO 1 Y относительно старой системы хОу будет определено, если известны координаты а и b нового начала O 1 по старой системе и угол α между осями Ох и О 1 Х . Обозначим через х и у координаты произвольной точки М относительно старой системы, через X и Y-координаты той же точки относительно новой системы. Наша задача заключается в том, чтобы старые координаты х и у выразить через новые X и Y. В полученные формулы преобразования должны, очевидно, входить постоянные a, b и α .

Решение этой общей задачи мы получим из рассмотрения двух частных случаев.

1. Меняется начало координат, направления же осей остаются неизменными (α = 0).

2. Меняются направления осей, начало же координат остается неизменным (а = b = 0).

§ 2. Перенос начала координат.

Пусть даны две системы декартовых координат с разными началами O и O 1 и одинаковыми направлениями осей (рис. 69).

Обозначим через а и b координаты нового начала О 1 в старой системе и через х, у и X , Y -координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах. Проектируя точку М на оси О 1 Х и Ох , а также точку О 1 на ось Ох , получим на оси Ох три точки О, А и Р . Величины отрезков ОА , АР и ОР связаны следующим соотношением:

| ОА | + | АР | = | ОР |. (1)

Заметив, что | ОА | = а , | ОР | = х , | АР | = | О 1 Р 1 | = Х , перепишем равенство (1) в виде:

а + X = x или x = X + а . (2)

Аналогично, проектируя М и О 1 на ось ординат, получим:

y = Y + b (3)

Итак, старая координата равна новой плюс координата нового начала по старой системе.

Из формул (2) и (3) новые координаты можно выразить через старые:

Х = х - а , (2")

Y = y - b . (3")

§ 3. Поворот осей координат.

Пусть даны две декартовы системы координат с одинаковым началом О и разными направлениями осей (рис. 70).

Пусть α есть угол между осями Ох и ОХ . Обозначим через х, у и X, Y координаты произвольной точки М соответственно в старой и новой системах:

х = | ОР | , у = | РM | ,

X = | ОР 1 |, Y = | Р 1 M |.

Рассмотрим ломаную линию ОР 1 MP и возьмем ее проекцию на ось Ох . Замечая, что проекция ломаной линии равна проекции замыкающего отрезка (гл. I, § 8) имеем:

ОР 1 MP = | ОР |. (4)

С другой стороны, проекция ломаной линии равна сумме проекций ее звеньев (гл. I, § 8); следовательно, равенство (4) запишется так:

пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = | ОР | (4")

Так как проекция направленного отрезка равна его величине, умноженной на косинус угла между осью проекций и осью, на которой лежит отрезок (гл. I, § 8), то

пр ОР 1 = X cos α

пр Р 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y sin α ,

пp MP = 0.

Отсюда равенство (4") нам дает:

x = X cos α - Y sin α . (5)

Аналогично, проектируя ту же ломаную на ось Оу , получим выражение для у . В самом деле, имеем:

пр ОР 1 + пр Р 1 M + пp MP = пp ОР = 0.

Заметив, что

пр ОР 1 = X cos (α - 90°) = X sin α ,

пр Р 1 M = Y cos α ,

пp MP = - y ,

будем иметь:

X sin α + Y cos α - y = 0,

y = X sin α + Y cos α . (6)

Из формул (5) и (6) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если разрешим уравнения (5) и (6) относительно X и Y .

Замечание. Формулы (5) и (6) могут быть получены иначе.

Из рис. 71 имеем:

х = ОР = ОМ cos (α + φ ) = ОМ cos α cos φ - ОМ sin α sin φ ,

у = РМ = ОМ sin (α + φ ) = ОМ sin α cos φ + ОМ cos α sin φ .

Так как (гл. I, § 11) OM cos φ = X , ОМ sin φ =Y , то

x = X cos α - Y sin α , (5)

y = X sin α + Y cos α . (6)

§ 4. Общий случай.

Пусть даны две декартовы системы координат с разными началами и разными направлениями осей (рис. 72).

Обозначим через а и b координаты нового начала О , по старой системе, через α -угол поворота координатных осей и, наконец, через х, у и X, Y - координаты произвольной точки М соответственно по старой и новой системам.

Чтобы выразить х и у через X и Y , введем вспомогательную систему координат x 1 O 1 y 1 , начало которой поместим в новом начале О 1 , а направления осей возьмем совпадающими с направлениями старых осей. Пусть x 1 и y 1 , обозначают координаты точки М относительно этой вспомогательной системы. Переходя от старой системы координат к вспомогательной, имеем (§ 2):

х = х 1 + а , у = у 1 + b .

х 1 = X cos α - Y sin α , y 1 = X sin α + Y cos α .

Заменяя х 1 и y 1 в предыдущих формулах их выражениями из последних формул, найдем окончательно:

x = X cos α - Y sin α + a

y = X sin α + Y cos α + b (I)

Формулы (I) содержат как частный случай формулы §§ 2 и 3. Так, при α = 0 формулы (I) обращаются в

x = X + а , y = Y + b ,

а при а = b = 0 имеем:

x = X cos α - Y sin α , y = X sin α + Y cos α .

Из формул (I) мы получим новые координаты X и Y выраженными через старые х и у , если уравнения (I) разрешим относительно X и Y .

Отметим весьма важное свойство формул (I): они линейны относительно X и Y , т. е. вида:

x = AX + BY + C , y = A 1 X + B 1 Y + C 1 .

Легко проверить, что новые координаты X и Y выразятся через старые х и у тоже формулами первой степени относительно х и у.

Г.Н.Яковлев "Геометрия"

§ 13. Переход от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой

Выбором прямоугольной декартовой системы координат устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами действительных чисел. Это означает, что каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и каждой упорядоченной паре действительных чисел соответствует единственная точка.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства. Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатных системах. Одна и та же точка в разных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, окружность, парабола, прямая) в разных системах координат задается различными уравнениями.

Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: О, i, j и О", i", j" (рис. 41).

Первую систему с началом в точке О и базисными векторами i и j условимся называть старой, вторую - с началом в точке О" и базисными векторами i" и j" - новой.

Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка О" в старой системе имеет координаты (a;b ), a вектор i" образует с вектором i угол α . Угол α отсчитываем в направлении, противоположном движению часовой стрелки.

Рассмотрим произвольную точку М. Обозначим ее координаты в старой системе через (х;у ), в новой - через (х";у" ). Наша задача - установить зависимость между старыми и новыми координатами точки М.

Соединим попарно точки О и О", О" и М, О и М. По правилу треугольника получаем

OM > = OO" > + O"M > . (1)

Разложим векторы OM > и OO" > по базисным векторам i и j , а вектор O"M > по базисным векторам i" и j" :

OM > = xi + yj , OO" > = ai + bj , O"M > = x"i "+ y"j "

Теперь равенство (1) можно записать так:

xi + yj = (ai + bj ) + (x"i "+ y"j "). (2)

Новые базисные векторы i" и j" раскладываются по старым базисным векторам i и j следующим образом:

i" = cos α i + sin α j ,

j" = cos ( π / 2 + α ) i + sin ( π / 2 + α ) j = - sin α i + cos α j .

Подставив найденные выражения для i" и j" в формулу (2), получим векторное равенство

xi + yj = ai + bj + х" (cos α i + sin α j ) + у" (- sin α i + cos α j )

равносильное двум числовым равенствам:

х = а + х" cos α - у" sin α , у = b + х" sin α + у" cos α

Формулы (3) дают искомые выражения для старых координат х и у точки через ее новые координаты х" и у" . Для того чтобы найти выражения для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнении (3) относительно неизвестных х" и у" .

Итак, координаты точек при переносе начала координат в точку (а; b ) и повороте осей на угол α преобразуются по формулам (3).

Если изменяется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах (3) α = 0, получаем

Формулы (5) называют формулами поворота .

Задача 1. Пусть координаты нового начала в старой системе (2; 3), а координаты точки А в старой системе (4; -1). Найти координаты точки А в новой системе, если направления осей остаются прежними.

По формулам (4) имеем

Ответ. A (2; -4)

Задача 2. Пусть координаты точки Р в старой системе (-2; 1), а в новой системе, направления осей которой те же самые, координаты этой точки (5; 3). Найти координаты нового начала в старой системе.

А По формулам (4) получаем

- 2 = а + 5 1 = b + 3

откуда а = - 7, b = - 2.

Ответ. (-7; -2).

Задача 3. Координаты точки А в новой системе (4; 2). Найти координаты этой точки в старой системе, если начало координат осталось прежним, а оси координат старой системы повернуты на угол α = 45°.

По формулам (5) находим

Задача 4. Координаты точки A в старой системе (2 √3 ; - √3 ). Найти координаты этой точки в новой системе, если начало координат старой системы перенесено в точку (-1;-2), а оси повернуты на угол α = 30°.

По формулам (3) имеем

Решив эту систему уравнений относительно х" и у" , найдем: х" = 4, у" = -2.

Ответ. A (4; -2).

Задача 5. Дано уравнение прямой у = 2х - 6. Найти уравнение той же прямой в новой системе координат, которая получена из старой системы поворотом осей на угол α = 45°.

Формулы поворота в данном случае имеют вид

Заменив в уравнении прямой у = 2х - 6 старые переменные х и у новыми, получим уравнение

√ 2 / 2 (x" + y" ) = 2 √ 2 / 2 (x" - y" ) - 6 ,

которое после упрощений принимает вид y" = x" / 3 - 2√2

Координаты

Координа́ты мн.
1.

Данные о местоположении кого-либо или чего-либо, определяемые на основе таких величин.

2. перен. разг.

Сведения о местонахождении, местопребывании кого-либо.

Толковый словарь Ефремовой . Т. Ф. Ефремова. 2000 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Координаты" в других словарях:

Координаты величины, определяющие положение точки (тела) в пространстве (на плоскости, на прямой). Совокупность координат всех точек пространства является системой координат. В Викисловаре есть статья «координата» Понятие и слово… … Википедия

- (от лат. co приставка, означающая совместность, и ordinatus упорядоченный, определённый * a. coordinates; н. Koordinaten; ф. coordonnees; и. coordenadas) числа, величины, определяющие положение точки в пространстве. B геодезии, топографии … Геологическая энциклопедия

- (от лат. co совместно и ordinatus упорядоченный определенный), числа, заданием которых определяется положение точки на плоскости, на поверхности или в пространстве. Прямоугольные (декартовы) координаты точки на плоскости суть снабженные знаками + …

- (от латинского co совместно и ordinatus упорядоченный), числа, которые определяют положение точки на прямой, плоскости, поверхности, в пространстве. Координаты суть расстояния до выбранных каким либо способом координатных линий. Например,… … Современная энциклопедия

Сферические. Если начало полярных координат взять вцентре сферы, то все точки сфер имеют одинаковый радиус вектор иостанутся изменяемыми только углы q и l. Обыкновенно вместо q беретсядругая координата j= 90 q, которая называется широтой, угол же …

- (ср. век. лат., от лат. cum с, и ordinare приводить в порядок). В аналит. геометрии: такие величины, которые служат для определения положения какой нибудь точки. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910.… … Словарь иностранных слов русского языка

Положение, местоположение, позиция, месторасположение, местонахождение, расположение Словарь русских синонимов. координаты см. местонахождение 1 Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. М.: Русс … Словарь синонимов

координаты - КООРДИНАТЫ, координат, мн. Адрес, телефон. Он женился, координаты поменял … Словарь русского арго

В геодезии величины, определяющие положение точки земной поверхности относительно поверхности земного эллипсоида: широта, долгота, высота. Определяются геодезическими методами … Большой Энциклопедический словарь

- (от лат. со – совместно и ordinatus – упорядоченный) осн. моменты, определяющие данность. В математике – величины, определяющие положение точки; часто наглядно они изображаются с помощью отрезков. Если отходящие от точки (начало координат) прямые … Философская энциклопедия

Величины, определяющие положение точки. В Декартовыхпрямоугольных К. положение точки определяется тремя расстояниями ее оттрех взаимно перпендикулярных плоскостей; пересечения этих плоскостейпредставляют собою три прямые, выходящие из одной точки … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Книги

• Координаты населенных пунктов, часовые пояса и изменения исчисления времени , Редактор В. Федоров. Составитель И. Бариев , стр. 71 Справочник Координаты населенных пунктов, часовые пояса и изменения исчисления времени. Формат: 145 х 200 мм ISBN:5-87160-026-3… Категория: Научная и техническая литература Издатель: Старклайт , Производитель: Старклайт ,
• Координаты чудес , Роберт Шекли , Американский писатель-фантаст Роберт Шекли популярен во всем мире. Он закончил технический колледж, но с 1952 года решил полностью посвятить себя литературе. Прослушал курс литературы у… Категория: Фантастика Серия: Science Fiction Издатель: Северо-Запад , Производитель: